Οι 1.814.400 πιθανές ονομασίες της FYROM

Η συζήτηση του ονόματος του κράτους που βρίσκεται στα βόρεια σύνορά μας, έχει πρωτεύουσα τα Σκόπια και αποτελείται κατά τα 2/3 από ορθόδοξους χριστιανούς και κατά το 1/3 από μουσουλμάνους –κυρίως αλβανικής καταγωγής–, συνεχίζεται ακατάπαυστα. Στόχος της ελληνικής πλευράς είναι να καμφθεί η αδιαλλαξία του κράτους των Σκοπίων ως προς τον επιθετικό προσδιορισμό της λέξης «Μακεδονία». Αναρωτιέμαι γιατί οι έλληνες διπλωμάτες επιμένουν τόσο πολύ στο αν ο επιθετικός προσδιορισμός θα είναι «Νέα», «Βόρεια» ή «Άνω». Η ουσία είναι πως από μόνη της η λέξη «Μακεδονία» έχει κάνει «Άνω-κάτω» την εξωτερική μας πολιτική. Ένα πράγμα μοιάζει να είναι βέβαιο σε όλους μας: η λέξη «Μακεδονία» θα είναι μέρος του ονόματος του κρατιδίου αυτού.

Επειδή η FYROM, αλλά και τα υπόλοιπα εμπλεκόμενα κράτη, εμμένουν στο όνομα «Μακεδονία», ίσως θα ήταν προτιμότερο, αντί να αναζητούμε έναν άχαρο επιθετικό προσδιορισμό, να αποδεχτούμε την ύπαρξη των γραμμάτων της λέξης «Μακεδονία» και να προτείνουμε απλά την εναλλαγή της σειράς τους. Αλλά, πόσες λέξεις μπορούμε να φτιάξουμε χρησιμοποιώντας αυτά τα εννέα γράμματα; Στην πρώτη θέση έχουμε εννέα δυνατές επιλογές (οποιοδήποτε από τα γράμματα της λέξης «Μακεδονία»^*). Στη δεύτερη θέση μπορούμε να τοποθετήσουμε οποιοδήποτε από τα οκτώ εναπομείναντα γράμματα, στην τρίτη θέση έχουμε επτά επιλογές, στην τέταρτη έξι κ.λπ. Συνολικά έχουμε τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε 9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 362.880 λέξεις. Αν θεωρήσουμε επιπλέον, πως η κάθε λέξη έχει τη δυνατότητα να τονιστεί με πέντε διαφορετικούς τρόπους (σε καθένα από τα πέντε φωνήεντα), τότε έχουμε 362.880x5 = 1.814.400 πιθανές ονομασίες.

Φυσικά οι περισσότερες από αυτές δεν θα είναι αναγνώσιμες - αναγνωρίσιμες. Πώς για παράδειγμα θα σας φαινόταν αν το κράτος ονομαζόταν «Μκνιεααοδ»; Ό, τι καλύτερο για την ελληνική διπλωματία! Ένα κράτος, με ένα όνομα που δεν διαβάζεται. Θα είναι σχεδόν σαν να μην υπάρχει. Άλλωστε, αυτό δεν εύχονται, χωρίς ποτέ να το εκφράζουν φωναχτά, οι έλληνες πολιτικοί; Υπάρχουν και μερικές λέξεις που θα σχηματίζονταν από τα γράμματα της λέξης «Μακεδονία» και θα υπήρχαν πολλοί που θα τις έβρισκαν ενδιαφέρουσες για το «ανεπιθύμητο» κράτος. Τί θα λέγατε αν ονομαζόταν «Καμενοδία»; Σίγουρα πολύ θα το πρότειναν!

Φανταστείτε πόσα χρόνια μπορεί να χρειαστούν οι ξένοι διπλωμάτες μέχρι να επιλέξουν το καταλληλότερο από τα 1.814.400 διαφορετικά ονόματα, με δεδομένο ότι δυσκολεύονται με μόλις τρεις-τέσσερις προτεινόμενους επιθετικούς προσδιορισμούς. Κάτι τέτοιο πιθανόν να ευνοούσε και την ελληνική πλευρά, καθώς δεν είναι λίγοι αυτοί που ισχυρίζονται πως η μη-λύση του προβλήματος λειτουργεί ευεργετικά για την Ελλάδα.

Οι συνομιλίες για το όνομα, αν και συνεχίζονται ακόμη, δεν φαίνεται να οδηγούν σε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Για το λόγο αυτό στις 3 Απριλίου 2008, ο Έλληνας πρωθυπουργός άσκησε το δικαίωμα του βέτο στην ολομέλεια του ΝΑΤΟ, εμποδίζοντας τη γειτονική μας FYROM να ενταχθεί στη Βόρειο-Ατλαντική συμμαχία. Το βέτο από μόνο του είναι μία έννοια που αντιτίθεται στην μαθηματική λογική. Ένα κράτος διαφωνεί και μπορεί από μόνο του να αποτρέψει μία κοινή απόφαση των υπόλοιπων 25 μελών του ΝΑΤΟ και των 23 λεγόμενων συνεταίρων. Μία ιδιότυπη ανισότητα φαίνεται να κάνει την εμφάνισή της. 1 > 48 !

Τέτοιες ανισότητες εμφανίζονται συχνά στη διεθνή πολιτική σκηνή (οι Η.Π.Α. έχουν μια τάση να τις χρησιμοποιούν), αλλά είναι απίθανο να εμφανιστούν στα μαθηματικά. Ωστόσο, μερικές φορές, οι μαθηματικές θεωρίες παράγουν αποτελέσματα που στον κοινό νου φαντάζουν αδύνατα. Ποιος, μη μαθηματικά καταρτισμένος, θα μπορούσε να αντιληφθεί πως ο μιγαδικός αριθμός 2008 + 2008i (για τους μη ειδικούς ο i είναι ένας φανταστικός αριθμός τέτοιος ώστε i² = –1) δεν είναι μεγαλύτερος από τον 3 + 3i για τον απλό λόγο ότι δεν υφίσταται διάταξη στο σώμα των μιγαδικών αριθμών;

Μία τέτοιου τύπου μαθηματική προσέγγιση του προβλήματος της ονομασίας της γειτονικής χώρας σίγουρα δεν είναι πρακτικά εφικτή. Από την άλλη, όμως, κανείς δεν μπορεί να μας βεβαιώσει ότι μία ενδεχόμενη συμφωνία για έναν γεωγραφικό-εννοιολογικό επιθετικό προσδιορισμό της λέξης «Μακεδονία» θα οδηγήσει σε ουσιαστική εξάλειψη του πραγματικού προβλήματος, που έχει τη βάση του στο ιστορικό γίγνεσθαι της περιοχής.

^* για απλοποίηση του προβλήματος ας θεωρήσουμε ότι τα δύο γράμματα «α» της λέξης «Μακεδονία» είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

Ανδρέας Θ. Λύκος

Ένα συνηθισμένο πρωινό, ενός συνηθισμένου ανθρώπου

Το ραδιόφωνο - ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε στις 7:00. Χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και στο δυαδικό σύστημα, το δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο προσκέφαλό του. Σηκώθηκε. Σε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του, που λειτουργούσαν με fuzzy logic - παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής, που ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ABS στο αυτοκίνητό του - τού εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό.

Στις 7: 40 πληκτρολογούσε στον συναγερμό τον τετραψήφιο κωδικό του (η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος διαρρήκτης είχε μόλις μία πιθανότητα στις 10.000 να τον παραβιάσει) και έφυγε ήσυχος για τη δουλειά. Μπήκε στο Μετρό - άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα γραφήματα του Όιλερ - βολεύτηκε και άνοιξε την εφημερίδα: «Μείωση κατά 12% των ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ - 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν ήδη με τους νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Τα νύχια τους μυρίσανε; Γύρισε στα αθλητικά. Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β' τύπου του Αρχιμήδη (την μπάλα του ποδοσφαίρου δηλαδή) δέσποζε στη σελίδα. Στις 8: 30 έμπαινε στο γραφείο. Άνοιξε τον υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα Μπουλ, αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς τού εξασφάλισε μια ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Μήνυμα από τη Μαρία! - το πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα, όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. Σπούδαζε Μαθηματικά. Χάθηκε να σπουδάσει κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τέλος πάντων! Έτσι σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ' το e-mail γιατί πλησίαζε ο διευθυντής...

Τεύκρος Μιχαηλίδης

Η Μη – Πληρότητα της κοινωνίας μας

Από την εποχή του Ευκλείδη θεωρούνταν πως αν εφοδιάσουμε ένα σύστημα με κάποιες αυτονόητα αληθείς προτάσεις που ονομάστηκαν αξιώματα, η διαδικασία απόδειξης νέων, πιο σύνθετων προτάσεων θα εξέπιπτε στο συνδυασμό των αξιωμάτων. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία αποτελούσε το καλύτερο παράδειγμα. Η χρήση πέντε αυτονόητων προτάσεων οδήγησε στην απόδειξη μιας πληθώρας θεωρημάτων. Κανείς δεν αντιτίθονταν στην αλήθεια των θεωρημάτων αυτών όσο δεν αμφισβητούνταν η αλήθεια των πέντε αξιωμάτων. Έτσι, στον Ευκλείδειο χώρο οι έννοιες αλήθεια και απόδειξη ταυτίζονταν. Για να είναι μία πρόταση αληθής θα έπρεπε να υπάρχει μία λογική διεργασία που να την αποδεικνύει. Θεωρήματα και αξιώματα αποτελούσαν την απόλυτη αλήθεια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Σε μία σύγχρονη κοινωνία το ρόλο των αξιωμάτων κλήθηκαν να παίξουν οι κανόνες της ηθικής που η ίδια η κοινωνία έθεσε a priori. Χρησιμοποιώντας όρους όπως «καλό» και «κακό», αλλά και πιο περίπλοκες έννοιες, έθεσε τα αξιώματα της, η αλήθεια των οποίων ήταν αναμφισβήτητη. Στα πλαίσια αυτά δημιουργήθηκαν, και συνεχίζουν να δημιουργούνται, νόμοι αλλά και άγραφοι κανόνες βασισμένοι στους αρχικούς κανόνες της ηθικής, οι οποίοι παίρνουν τη θέση των θεωρημάτων και διαμορφώνουν το σύνολο της αλήθειας στα πλαίσια της κοινωνίας.

Η ανατροπή στη λογική αυτή, που πρώτος ο Ευκλείδης καλλιέργησε, ήρθε πολλούς αιώνες αργότερα. Συγκεκριμένα, το 1931 ο Κουρτ Γκέντελ, o σημαντικότερος μαθηματικός-λογικολόγος του 20^ου αιώνα και σε ηλικία μόλις είκοσι τριών ετών, κατάφερε να αναταράξει τα θεμέλια των μαθηματικών και να αποδείξει το θεώρημα της Μη - Πληρότητας. Ο ίδιος, βαθύτατα πλατωνιστής, πίστευε στην αυθύπαρκτη αλήθεια των μαθηματικών ιδεών. Στο θεώρημα της Mη – Πληρότητας απέδειξε ότι σε οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα η αλήθεια βρίσκεται πέρα από την απόδειξη. Το θεώρημα του έλεγε σε ελεύθερη μετάφραση ότι, όσο καλά «οργανωμένο» και να είναι ένα τυπικό αξιωματικό σύστημα, πάντα θα υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν θα μπορούν να αποδειχθούν στα πλαίσια αυτής της θεωρίας και κατά συνέπεια, οι αληθείς προτάσεις είναι πάντα περισσότερες από τις αποδείξιμες. Όλα τα λογικά συστήματα που έχουν βαθμό πολυπλοκότητας παρόμοιο με αυτόν της στοιχειώδους άλγεβρας αποδεικνύονται τελικά ελλιπή, επειδή υπάρχουν προτάσεις που λένε για το εαυτό τους ότι δεν μπορούν να αποδειχθούν.

Όμως, όπως υποστηρίζει ο Ιταλός συγγραφέας και μαθηματικός Κάρλο Φραμπέτι στο Βιβλίο Κόλαση «Και η ηθική, η αισθητική, δεν είναι παρά μια άλγεβρα της επιθυμίας». Άρα, μήπως και το θεώρημα της Μη – Πληρότητας μας στέλνει μηνύματα για τις ηθικές αξίες της ζωής μας; Ο ίδιος ο Γκέντελ, όταν ρωτήθηκε για το δίδαγμα που προσφέρει το θεώρημά του στην ανθρώπινη πραγματικότητα, είπε: «Μία κοινωνία που προσπαθεί να λειτουργήσει αποκλειστικά και μόνο με βάση τους κανόνες δε θα μπορέσει ποτέ να απαντήσει στα ερωτήματα που της θέτει η ίδια η ζωή».

Το κοινωνικό μας αξιωματικό σύστημα αδυνατεί να εντοπίσει την απόλυτη αλήθεια. Άνθρωποι ικανοί και δημιουργικοί, που δεν πρεσβεύουν την αυτονόητη και τετριμμένη αλήθεια, απομονώνονται. Οι λάθος άνθρωποι, καταλαμβάνοντας καίριες θέσεις, παίζουν το ρόλο των αποδείξιμων θεωρημάτων, εμποδίζουν την πραγματική και ολοκληρωμένη αλήθεια –που πολλές φορές είναι μη αποδείξιμη– να εμφανιστεί στο προσκήνιο. Απορρίπτουν προτάσεις καινοτόμες, απλά και μόνο γιατί ως σύστημα δεν αντέχουν να αποκαλυφθεί η απόλυτη αλήθεια, προτιμώντας τα στεγανά της αυτονόητης αλήθειας, που περιορίζει την κριτική και σκεπτική μας ικανότητα. Στα πλαίσια αυτά, παρατηρούμε έκπληκτοι τους κοινωνικούς φορείς, αντί να αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά ως την κορωνίδα των επιστημών και ως βασικό συστατικό του πολιτισμού μας, να είναι πολλές φορές επιφυλακτικοί απέναντι σε προτάσεις που προάγουν την μαθηματική παιδεία.

Ανδρέας Θ. Λύκος

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΣΤΟ ΠΑΡΙΣΙ...

Παρίσι 1900, μήνας Αύγουστος. Το αμφιθέατρο της Σορβόνης φιλοξενεί το 2^ο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών, υπό την προεδρία του μεγάλου γάλλου μαθηματικού και φιλοσόφου Ανρί Πουανκαρέ, της Ακαδημίας Επιστημών. Ο κύριος ομιλητής του συνεδρίου ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν της Γερμανίας, έδωσε στην ομιλία του τον τίτλο «Σχετικά με τα μελλοντικά προβλήματα των Μαθηματικών»

Το σύνηθες στα επιστημονικά συνέδρια είναι να παρουσιάζονται στην επιστημονική κοινότητα τα εκάστοτε επιτεύγματα και μέσα από αυτήν την παρουσίαση να μπαίνουν τα θεμέλια για την οικοδόμηση μιας μελλοντικής μεγάλης θεωρίας. Έτσι εξελίσσονται τα Μαθηματικά, όπως άλλωστε και όλες οι επιστήμες.

Ο Χίλμπερτ έδωσε μια άλλη διάσταση, αδιαφορώντας τόσο για το κατεστημένο, όσο και για τις επιφυλάξεις του προέδρου του μαθηματικού τμήματος της σχολής του, του μεγάλου Φέλιξ Κλάιν. Με την προτροπή του επιστήθιου φίλου του Χέρμαν Μινκόφσκι, καθηγητή στο πανεπιστήμιο της Ζυρίχης, μίλησε για τα μαθηματικά προβλήματα του μέλλοντος(!). Στο γραπτό κείμενο που μοιράστηκε στο ακροατήριο, πριν από τη διάλεξη, περιλαμβάνονταν είκοσι τρία προβλήματα που αφορούσαν σε όλο το φάσμα της μαθηματικής επιστήμης. Το κείμενο του Χίλμπερτ ήταν ένας ολοκληρωμένος οδηγός έρευνας που άνοιγε δρόμους και χάραζε κατευθυντήριες γραμμές για τη μαθηματική έρευνα, στο λυκαυγές του εικοστού αιώνα. Στην ομιλία του ανέλυσε διεξοδικά δέκα από αυτά τα προβλήματα και περιέγραψε το είδος των λύσεων που θεωρούσε αποδεκτές.

Σήμερα θα ήταν αδύνατο να βρεθεί μια διάνοια παρόμοια του Χίλμπερτ που θα μπορούσε να θέσει προβλήματα, που να καλύπτουν ολόκληρο το φάσμα της μαθηματικής επιστήμης. Κι αυτό όχι γιατί εκατόν τόσα χρόνια μετά τον Χίλμπερτ δεν υπάρχουν διάνοιες στον πλανήτη, αλλά επειδή τα Μαθηματικά μετά την εκρηκτική πρόοδο που σημείωσαν, «υπέστησαν» τις συνέπειες της υπερεξειδίκευσης, που έχει κατατμήσει τη μαθηματική επιστήμη σε πολλούς ανεξάρτητους κλάδους, συχνά με ελάχιστη ή και καμία επικοινωνία μεταξύ τους. Πόσο να «ευθύνεται» η ομιλία του Χίλμπερτ γι΄αυτό; Και πώς εμείς, οι κοινοί θνητοί, που διάγουμε βίο εξολοκλήρου επηρεασμένο από τα μαθηματικά επιτεύγματα, θα καταλάβουμε το ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά στη ζωή μας;

Επανέρχομαι όμως στον Χίλμπερτ και στην ομιλία του. Και πιο συγκεκριμένα στο «δεύτερο πρόβλημα», όπως το διατύπωσε εκείνη την Τετάρτη, στις 8 Αυγούστου, στο Παρίσι. Το περιβόητο «πρόβλημα της θεμελίωσης της αριθμητικής και της ανάγκης ενός μηχανισμού ελέγχου της πληρότητας και της μη αντιφατικότητας των αξιωμάτων της.» Για να γίνει κατανοητό το θέμα το οποίο θίγει το πρόβλημα αυτό, καθώς και το ζητούμενο του, θα πρέπει κανείς να ταξιδέψει πίσω στον χρόνο, μέχρι το τέλος του 4^ου αιώνα π.Χ., για να συναντήσει τον Ευκλείδη, στη Μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, σκυμμένο πάνω στους παπύρους του να συγγράφει το μνημειώδες έργο του, τα «Στοιχεία». Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, μια εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της λεγόμενης «αξιωματικής μεθόδου», που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των Μαθηματικών και η μετέπειτα επίδρασή της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί. Τι είναι όμως η αξιωματική μέθοδος;

Πριν ακόμη από τον Ευκλείδη, οι Έλληνες μαθηματικοί ανέπτυξαν ένα πρότυπο βάσει του οποίου θα πρέπει να αναπτύσσεται κάθε λογική πραγμάτευση. Το πρότυπο αυτό αποτελείται από τα παρακάτω τέσσερα βήματα.

1^ο Δίνονται αρχικές ερμηνείες ορισμένων βασικών τεχνικών όρων.

2^ο Καταγράφονται ορισμένες αρχικές προτάσεις σχετικά με τους βασικούς όρους, οι οποίες θεωρούνται αληθείς και λέγονται αιτήματα ή αξιώματα.

3^ο Όλοι οι άλλοι όροι που είναι απαραίτητοι στην πραγμάτευση ορίζονται με χρήση των αρχικών βασικών όρων

4^ο Όλες οι άλλες προτάσεις που εμφανίζονται στην πραγμάτευση, αποδεικνύονται με τη χρήση των αξιωμάτων και λέγονται θεωρήματα.

Ακολουθώντας αυτήν ακριβώς τη «συνταγή», ο Ευκλείδης κατάφερε να περισυλλέξει και να «αρχειοθετήσει», με μεγάλη σοφία, όλη τη μέχρι τότε μαθηματική γνώση και να κληροδοτήσει στην ανθρωπότητα την αξιωματική μέθοδο, σε έγγραφη μορφή.

Είμαι απόλυτα σίγουρη πως δεν πέρασε ποτέ από το μυαλό του Ευκλείδη, όσο συνέγραφε τα στοιχεία του, σε τι «μπελάδες» θα έβαζε την ανθρωπότητα. Και δεν εννοώ τους μαθητές που διδάσκονται την Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά τους μαθηματικούς που, επί πολλούς αιώνες μετά, εξετάζουν κι επανεξετάζουν την αξιωματική μέθοδο, την ανασκευάζουν, την «κόβουν» και τη «ράβουν» και ποιος ξέρει τι ακόμη θα προκύψει από αυτές τις προσπάθειες.

Όπως ο Χίλμπερτ, για παράδειγμα, τι ακριβώς ζητούσε στο δεύτερο πρόβλημα;

Θα επιχειρήσουμε μια προσέγγιση του θέματος, που πρέπει μάλλον να είναι κάπως μακροπρόθεσμη…

Ως τότε, έχουμε χρόνο να διαβάσουμε το καινούριο μυθιστόρημα του Τεύκρου Μιχαηλίδη, με τίτλο «Πυθαγόρεια Εγκλήματα», εκδόσεις Πόλις, το οποίο μας μεταφέρει στο αμφιθέατρο της Σορβόνης, να ακούσουμε μαζί με τους δυο ήρωες, έλληνες φοιτητές, που γνωρίζονται μεταξύ τους ακριβώς εκεί, στα έδρανα του αμφιθεάτρου, την ιστορική ομιλία του Ντάβιντ Χίλμπερτ.

Κι ύστερα σε ένα μπιστρό του μπουλβάρ Σαιν Μισέλ, παρέα με τους δύο νεαρούς, να απολαύσουμε τον παριζιάνικο ήλιο…

18/10/2006

Κατερίνα Καλφοπούλου