Παρίσι 1900, μήνας Αύγουστος. Το αμφιθέατρο της Σορβόνης φιλοξενεί το 2ο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών, υπό την προεδρία του μεγάλου γάλλου μαθηματικού και φιλοσόφου Ανρί Πουανκαρέ, της Ακαδημίας Επιστημών. Ο κύριος ομιλητής του συνεδρίου ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν της Γερμανίας, έδωσε στην ομιλία του τον τίτλο «Σχετικά με τα μελλοντικά προβλήματα των Μαθηματικών»
Το σύνηθες στα επιστημονικά συνέδρια είναι να παρουσιάζονται στην επιστημονική κοινότητα τα εκάστοτε επιτεύγματα και μέσα από αυτήν την παρουσίαση να μπαίνουν τα θεμέλια για την οικοδόμηση μιας μελλοντικής μεγάλης θεωρίας. Έτσι εξελίσσονται τα Μαθηματικά, όπως άλλωστε και όλες οι επιστήμες.
Ο Χίλμπερτ έδωσε μια άλλη διάσταση, αδιαφορώντας τόσο για το κατεστημένο, όσο και για τις επιφυλάξεις του προέδρου του μαθηματικού τμήματος της σχολής του, του μεγάλου Φέλιξ Κλάιν. Με την προτροπή του επιστήθιου φίλου του Χέρμαν Μινκόφσκι, καθηγητή στο πανεπιστήμιο της Ζυρίχης, μίλησε για τα μαθηματικά προβλήματα του μέλλοντος(!). Στο γραπτό κείμενο που μοιράστηκε στο ακροατήριο, πριν από τη διάλεξη, περιλαμβάνονταν είκοσι τρία προβλήματα που αφορούσαν σε όλο το φάσμα της μαθηματικής επιστήμης. Το κείμενο του Χίλμπερτ ήταν ένας ολοκληρωμένος οδηγός έρευνας που άνοιγε δρόμους και χάραζε κατευθυντήριες γραμμές για τη μαθηματική έρευνα, στο λυκαυγές του εικοστού αιώνα. Στην ομιλία του ανέλυσε διεξοδικά δέκα από αυτά τα προβλήματα και περιέγραψε το είδος των λύσεων που θεωρούσε αποδεκτές.
Σήμερα θα ήταν αδύνατο να βρεθεί μια διάνοια παρόμοια του Χίλμπερτ που θα μπορούσε να θέσει προβλήματα, που να καλύπτουν ολόκληρο το φάσμα της μαθηματικής επιστήμης. Κι αυτό όχι γιατί εκατόν τόσα χρόνια μετά τον Χίλμπερτ δεν υπάρχουν διάνοιες στον πλανήτη, αλλά επειδή τα Μαθηματικά μετά την εκρηκτική πρόοδο που σημείωσαν, «υπέστησαν» τις συνέπειες της υπερεξειδίκευσης, που έχει κατατμήσει τη μαθηματική επιστήμη σε πολλούς ανεξάρτητους κλάδους, συχνά με ελάχιστη ή και καμία επικοινωνία μεταξύ τους. Πόσο να «ευθύνεται» η ομιλία του Χίλμπερτ γι΄αυτό; Και πώς εμείς, οι κοινοί θνητοί, που διάγουμε βίο εξολοκλήρου επηρεασμένο από τα μαθηματικά επιτεύγματα, θα καταλάβουμε το ρόλο που παίζουν τα Μαθηματικά στη ζωή μας;
Επανέρχομαι όμως στον Χίλμπερτ και στην ομιλία του. Και πιο συγκεκριμένα στο «δεύτερο πρόβλημα», όπως το διατύπωσε εκείνη την Τετάρτη, στις 8 Αυγούστου, στο Παρίσι. Το περιβόητο «πρόβλημα της θεμελίωσης της αριθμητικής και της ανάγκης ενός μηχανισμού ελέγχου της πληρότητας και της μη αντιφατικότητας των αξιωμάτων της.» Για να γίνει κατανοητό το θέμα το οποίο θίγει το πρόβλημα αυτό, καθώς και το ζητούμενο του, θα πρέπει κανείς να ταξιδέψει πίσω στον χρόνο, μέχρι το τέλος του 4ου αιώνα π.Χ., για να συναντήσει τον Ευκλείδη, στη Μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, σκυμμένο πάνω στους παπύρους του να συγγράφει το μνημειώδες έργο του, τα «Στοιχεία». Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, μια εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της λεγόμενης «αξιωματικής μεθόδου», που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των Μαθηματικών και η μετέπειτα επίδρασή της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί. Τι είναι όμως η αξιωματική μέθοδος;
Πριν ακόμη από τον Ευκλείδη, οι Έλληνες μαθηματικοί ανέπτυξαν ένα πρότυπο βάσει του οποίου θα πρέπει να αναπτύσσεται κάθε λογική πραγμάτευση. Το πρότυπο αυτό αποτελείται από τα παρακάτω τέσσερα βήματα.
1ο Δίνονται αρχικές ερμηνείες ορισμένων βασικών τεχνικών όρων.
2ο Καταγράφονται ορισμένες αρχικές προτάσεις σχετικά με τους βασικούς όρους, οι οποίες θεωρούνται αληθείς και λέγονται αιτήματα ή αξιώματα.
3ο Όλοι οι άλλοι όροι που είναι απαραίτητοι στην πραγμάτευση ορίζονται με χρήση των αρχικών βασικών όρων
4ο Όλες οι άλλες προτάσεις που εμφανίζονται στην πραγμάτευση, αποδεικνύονται με τη χρήση των αξιωμάτων και λέγονται θεωρήματα.
Ακολουθώντας αυτήν ακριβώς τη «συνταγή», ο Ευκλείδης κατάφερε να περισυλλέξει και να «αρχειοθετήσει», με μεγάλη σοφία, όλη τη μέχρι τότε μαθηματική γνώση και να κληροδοτήσει στην ανθρωπότητα την αξιωματική μέθοδο, σε έγγραφη μορφή.
Είμαι απόλυτα σίγουρη πως δεν πέρασε ποτέ από το μυαλό του Ευκλείδη, όσο συνέγραφε τα στοιχεία του, σε τι «μπελάδες» θα έβαζε την ανθρωπότητα. Και δεν εννοώ τους μαθητές που διδάσκονται την Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά τους μαθηματικούς που, επί πολλούς αιώνες μετά, εξετάζουν κι επανεξετάζουν την αξιωματική μέθοδο, την ανασκευάζουν, την «κόβουν» και τη «ράβουν» και ποιος ξέρει τι ακόμη θα προκύψει από αυτές τις προσπάθειες.
Όπως ο Χίλμπερτ, για παράδειγμα, τι ακριβώς ζητούσε στο δεύτερο πρόβλημα;
Θα επιχειρήσουμε μια προσέγγιση του θέματος, που πρέπει μάλλον να είναι κάπως μακροπρόθεσμη…
Ως τότε, έχουμε χρόνο να διαβάσουμε το καινούριο μυθιστόρημα του Τεύκρου Μιχαηλίδη, με τίτλο «Πυθαγόρεια Εγκλήματα», εκδόσεις Πόλις, το οποίο μας μεταφέρει στο αμφιθέατρο της Σορβόνης, να ακούσουμε μαζί με τους δυο ήρωες, έλληνες φοιτητές, που γνωρίζονται μεταξύ τους ακριβώς εκεί, στα έδρανα του αμφιθεάτρου, την ιστορική ομιλία του Ντάβιντ Χίλμπερτ.
Κι ύστερα σε ένα μπιστρό του μπουλβάρ Σαιν Μισέλ, παρέα με τους δύο νεαρούς, να απολαύσουμε τον παριζιάνικο ήλιο…
18/10/2006
Κατερίνα Καλφοπούλου
